阳春三月，春暖花开，终于欣喜地等到了新冠肺炎疫情积极向好的转变。2020年3月23日晚上19:30-21:00，我们成长营17名成员带着初心，在成长营领衔人盛小青老师的带领下齐聚“名师在线”线上平台，共同参加第三次成长营网络研讨活动。

本次成长营研讨主题是利用网络平台资源，收看由全国名师工作室联盟常务副理事长、常州市本知名省级特级教师、教育部“国培计划”首批成员、自觉教育创始人、常州市高端教师成长营导师潘建明教授的直播讲座《初中数学变式教学策略分析》，感悟变式教学的作用与意义、理清变式教学的本质内涵与体系结构、从实际案例中体会变式教学在数学教学过程中的有效应用。成长营全体成员理论联系实际，努力消化潘特的讲座这份精神大餐，同时反思教学，重新架构对教育的理解。

 常州市新北区飞龙中学  盛小青  潘教授是我的导师，潘教授首创的自觉教育享誉教育界，潘教授对变式教育的研究热情和研究深度让我辈只能望其项背。本次讲座潘教授以近几年数学中考题为载体，结合多年一线教学的丰富经验，通过大量的变式教学设计和案例分享，深入解读了变式教学的意义和作用、概念和内涵、变式教学的实施策略三大方面。潘教授的讲座深入浅出，既有对目前变式教学存在弊端的审视和批判，更有对变式教学应该呈现的价值述求的展望。他指出变式教学不是为变而变的形式主义，而应该重在渗透数学思想方法、挖掘学生个性潜能、发展学生创新和思维品质。变式教学还要遵循其教学的内在发展规律，做到主线分明、循序渐进、重点突出，立足学生基础，唤醒学生经验，让数学成为火热的思考而不是冰冷的美丽。

常州市新北区实验中学 朱晓玲  23日晚上线上培训，我有幸聆听了常州特级教师潘建明老师有关初中数学变式教学策略分析的讲座。变式教学是对学生进行数学技能和思维训练的一种重要的教学方式。潘老师在讲策略分析的过程中例举了许多精彩的教学案例，特别提到张一青老师的有关手拉手全等变形的一节课，因为这节课我参与听课了，印象深刻。张一青老师利用正三角形、角与角的等式性质，为证明全等三角形创造条件，并利用全等三角形的性质得到了相关线段的等量关系，把此类题目变成一组展现给学生，让学生在比较中感悟它们的共性，本体其本质就是图形的旋转。许多数学习题看似不同，但它们的内在本质（或者说是解题的思路、方法是一样的），这就要求教师在教学中重视对这类题目的收集、比较，引导学生寻求通法通解，并让学生自己感悟它们之间的内在联系，形成数学思想方法,从而达到深入学习。

伽利略曾说过“科学是在不断改变思维角度的探索中前进的”。通过变式教学，不是解决一个问题，而是解决一类问题，遏制“题海战术”，开拓学生解题思路，培养学生的探索意识，实现“以少胜多”。作为一线教师，在今后的数学课堂教学中，要以教材为源，以学生为本,根据教学内容和目标加强变式训练,让学生从不同的角度对问题进行理解，运用数学的灵活性来降低数学的难度, 确保学生参与教学活动的热情、培养学生求同存异的思维能力、思维的探索性和深刻性，促进学生的深度学习。

新北区实验中学 史琦   今天听了潘建明教授的课，深有感触，刚好本来我也准备在自己的直播上进行变式训练，对照潘教授讲的，我显然做得很肤浅。

对于问题：“一元二次方程2x²+x+m=0有实数根，则m的最大值是___”，我本来进行了如下三个变题，

变题1：若一元二次方程2x²+x+m=0有在-1<x≤2内有实数根，则m的范围是________

变题2：若一元二次方程2x²+x+m=0在-1<x≤2内有2个不同实数根，则m的范围是_____

变题3：若一元二次方程2x²+x+m=0有一个正跟，一个负根，则m的范围是________

如此一来，一元二次方程的根的分布情况的不同变决定了参数m的范围的不同。本来在实数集上有实数根，学生只需要考虑抛物线的开口和判别式。现在根的分布范围缩小后，就必须同时考虑对称轴和断点处函数值的正负情况。这时候列出不等式组方可解决问题，如变题1：2x²+x+m=0在-1<x≤2内有实数根,那么一根和两根情况都要考虑，如下图两不等根和两等根情况，图2是一根情况；

个人评析：这种用含参二次函数的图形，通过开口、对称轴、判别式和端点来考虑根的分布情况的方法，虽然可以解出答案，但是需要分类讨论。

因此我建议进行参数分离，拒绝含参抛物线。

原方程分离成2x²+x=-m，用y₁=2x²+x和 y₂=-m的交点个数来研究根的个数，用交点的横坐标范围来确定根的分布，如图3

数形结合和参数分离能解决方程问题，那就一样也能解决不等式问题，如图4,结合图形显然，.

素质教育是以培养具有创造性思维和创造能力的人才,为目标而进行的创新教育为归宿的教育。在课堂教学中落实素质教育，就要贯穿“学生为主体，训练为主线，能力为主攻”的原则。现代数学课程标准指岀：数学教学不仅 仅要使学生获得数学基础知识，基本技能，更要获得数学思想和观念，形成良好的数学思维品质，要通过各种途径，让学生体会数学思考和创造的过程，增强学习的兴趣和自信心,不断提高自主学习的能力。所以加强在教学中注重变式训练，可以促使学生的思维向多层次、多方向发散，帮助 学生在问题的解答过程中去寻找解类似问题的思路、方法, 有意识地展现教学过程中教师与学生数学思维活动的过程, 充分调动学生学习的积极性、主动地参与教学的全过程， 培养学生独立分析和解决问题的能力，以及大胆创新、勇于探索的精神，从而真正把学生能力的培养落到实处。

对照此，我提出了最后一个变题：变题5:“当-2<x<3时，都有代数式x²+ax+a>0成立，求a的取值范围。”

不等式的恒成立问题一般都是转化为最值问题解决，这个也不例外。在当天的直播中，由于前面几题的变式给学生挖了坑，激起了他们的好胜心，不服输的他们有用“参数分离后用过定点的直线系与抛物线相切和相交来求范围，也有分类讨论含参抛物线的最值来解决。正确的思维和结论本就来自于试误和纠错，变式训练带给学生的不仅仅是原有知识的巩固，更应该是一种知识体系的建构、思维方法的升华和总结，感谢潘老师给予的指导。

常州市新北区吕墅中学  曹燕  在今天之前认识的变式教学局限在将题目的方法进行变形，重心放在如何让学生认识解题方法的多样性，而忽视了让学生掌握变式的思想，变式型思维。潘老师的讲座让我受益匪浅。变式教学重在培养学生的创新性思维，在传授知识的同时，让学生产生浓重的求知欲。比如在讲函数时，变式询问时什么样的关系，通过形象的箭头让学生能够说出一对一，一对一多，多对一，在通过一个模糊的对应形式以及图像让学生加深对函数概念的认识。

在今后的教学中，要重视变式，要有好的深刻的变式，让学生认识到问题的思想，精髓。

常州市新北区龙城小学 贺妍颖  变式教学是让学生对知识和技能初步理解与掌握后，进一步的深化和熟练，使学生在学习中学会运用课本的知识举一反三。在教学中教师要努力创设数学情境，将文字语言转化数学语言，让学生不仅知道结果，更要注重培养解题的思想和方法。

潘建明老师主题为《初中数学变式教学策略分析》的线上讲座使我受益匪浅。他山之石可以攻玉，此次学习启发我深入探索数学学科与体育学科之间的内在联系，使学生在综合活动中灵活应用各学科知识技能，促进知识整合，更有利于实现综合育人。

变式教学可以为学生创设更加适切的学习内容、方式和环境，促进学科体育化、趣味化，培养体育情感。多学科表现体育，可以感悟体育知识、规则与文化；多维度的研究体育，可以在综合运用中感悟体育文化与精神，帮助学生提升综合素养，引导学生更好地理解数学和体育，实现健康、快乐、自主、和谐地发展。

常州市新北区河海中学 钱程  3月23日有幸聆听了潘建明老师关于变式教学的线上讲座，收获很大。潘老师专业性讲解加典型的案例，让我对许多内容有了深刻的感悟。

教学中的变式，也是我教学中一直在运用的，但是如何用，怎么样才能用好，有时只是为了做题而变。潘老师在讲座中，提到了许多我不曾听过的专业术语，比如水平变式、垂直变式、标准变式、非标准变式等等，站在学科核心素养的高度，站在学生知识水平发展的高度，让我再一次对数学教学有了新的认识。给我印象最深的是他提到的要能根据课本内容，进行变化教学，比如他提到的垂直概念图形，课本中给的都是标准图形，而他提到可以改变图形的位置等，让我再一次对教材的处理上又有了更高的理解。

目前我的教学是为了学生学会做题，但缺少了对学生数学素养提高的培养，一味地练习，既然老师辛苦，学生也辛苦。如果能运用潘老师的方法，提高变式教学，不仅可以解放自己，也能提高学生的数学素养。今后的教学中，不仅要多一些自我研究，也要多向名师学习，让自己变得更好！

常州市新北区滨江中学  李莉  通过潘建明老师的变式教学讲座，我发现变式思维在数学教学中是一种非常重要的策略，在平常教学中，我们习惯于让学生进行“多练”，可是即使学生练的再多，也不可能练到原题，而所有的题目都是万变不离其宗，以书本为依据，要么变换了结论，要么变化了条件等等。因此，我们在教学中，应该将这种变式思维教给学生，这就是所谓的“授人以鱼不如授人以渔”。

在潘老师的讲座中，令我印象深刻的是概念变式，即函数概念。众所周知，函数的概念比较抽象，学生往往难以理解。教学中，无论我们对概念中的关键词怎样解读，学生依然不能很好地理解“对于x的每一个值，y都有唯一的值与它相对应”，因此潘老师讲述的方法是通过熟悉的问题情境，得出函数表达式，并写出自变量的范围，表明每一个自变量都有唯一的因变量的值与之对应，再通过两个变式进行强化，强化1：通过实例讲述“一对一、多对一、一对多”的情况解读函数概念；强化2：明显的和模糊的“多对一”情况，其实都是函数关系，这样有利于进一步加深学生对概念的理解。另外，从讲座中我还学到了变式教学还要考虑“量”和“度”，即使同样的问题设计，不同的老师呈现出的教学效果也不一样。那么变式的量如何控制，变式的度如何把握，教师应该要用好串联和并联，来提高课堂效率。

     因此，在之后的教学中，我要将变式教学应用到课堂中，注重锻炼学生的思维能力和努力提高自己的课堂效率。

常州市新北区滨江中学  洪瑶  潘建明老师的数学变式教学中指出，数学变式教学要基于课本，高于课本，明确目标，遵循课标，突出重点，一点带面，在教学的过程中针对实际，因人而异。如果真的能做好变式教学，能很大的调动学生的主观能动性，促进学生的深度学习。

我认为，教师如果要进行变式教学，首先必须得有一定的阅题量，其次，能深度理解题目之间的本质联系，同时需要教师具有一定的创新能力，只有这样，才能设计出好的变式，从而层层深入式的引导，多向性多层次的相互作用，使学生具有举一反三的能力及成为创造的主人。

潘老师从不同角度、课例归纳了变式教学的不同模式，从而得到较为实用的教学策略。面对不通过的知识、学生进行变式，因人而异，因地制宜。我认为我们现在很多教师选择的专题教学或者说模型教学，跟变式教学有异曲同工之处，很多都是给出奠基性问题，再将它放在不同问题情景中，让学生在变化的环境中，找到不变的本质，从而举一反三，创造性的解决问题。

常州市新北区飞龙中学  霍达  变式教学是数学教学中常用的一种方式，常常是从基本题入手，不断变化，层层递进，从而提高学生的思维能力，应变能力。重复、低效的练习会使学生丧失学习兴趣，而变式教育的存在恰恰弥补了这一不足。

潘建明老师讲的同课异构的列子让我印象深刻，这让我想起了平时教学中即使是同样的教学内容，不同的老师上起来差别还是很大。老教师往往会在中间插入一些变式教学，看上去很自然，如行云流水般让学生能够不断深入探索，从而使得课堂内容更加丰富，学生参与度更高了。

近年来中考最后的压轴题越来越开放，就比如2019年常州中考26题，分为阅读，理解，运用。问题之间层层递进，而学生应对这样的探究性问题的解题能力，则需要平时教学中多去采用变式教学，引导学生深入思考，提高应变能力。

常州市新北区飞龙中学  齐立华  3月23日19:30-21:00和成长营成员一起聆听了名师在线学堂潘建明老师的《初中数学变式教学策略分析》，感觉受益匪浅。

讲座第一部分内容是是数学变式教学的意义与作用，通过各省市历年中考题的呈现，可以直观感受到在教学过程中变式教学的重要意义；而潘老师所讲的变式教学的现状正是自己在教学中所存在的问题：注重变式教学手段、技术的使用，而没有从战略层面思考变式教学的方式、策略、途径等问题；在后续的案例中，了解了变式的量、变式的度、变式的用都要随教学内容、学生经验等问题的变化而灵活选择。这一部分内容让我对变式教学有了更深刻的认识。

第二部分内容是变式的概念与内涵，变式可分为概念性变式、结构性变式、过程性变式，并结合具体案例给出不同变式的教学方式。而函数概念的问题正是自己在教学中遇到的困扰，而一对一、一对多、多对一的图表可以很直观的向学生刻画函数概念的本质。

第三部分实施策略贯穿于整体中，在变式教学的意义、作用以及概念、内涵中都有相应的案例，在各案例中都能找到自己教学中存在的问题，在以后的教学中要直面问题、尝试更好得从战略层面应用变式教学。

常州市新北区河海中学 周叶  听了潘建明老师主题为《初中数学变式教学策略分析》的线上讲座，使我受益匪浅。

纵观自己从教以来的课堂教学，始终是稳扎稳打，按照课程标准，按部就班。当然其中也不乏推陈出新，可惜往往收效甚微，有时候也会很困惑：学生能按照老师的要求把课堂的知识点记牢，在作业中学会运用固然重要；但一旦遇到需要思考，需要变通的题型，学生总是一筹莫展，作为老师，有时候也只能爱莫能助。不过，潘老师的讲座为我打开了一扇门，让我意识到：数学教学也是可以精彩纷呈、生动有趣的。

在我看来，变式教学在运用到课堂教学中，能促进学生学习的主动性。课堂教学效果很大程度上取决于学生的参与情况，这就要求学生有学习的主动性，有了学习主动性才能积极参与学习。变式教学使一题多用，多题重组，给人一种新鲜、生动的感觉，能唤起学生的好奇心和求知欲，保持其参与教学活动的兴趣和热情。

运用变式教学能培养学生思维的深刻性。变式教学变换问题的条件和结论，变换问题的形式，但不改变问题的本质，使本质的东西更全面。使学生学习时不只是停留于事物的表象，而能自觉地从本质看问题，同时学会比较全面地看问题。

 “尺水可以兴波”，三尺讲台就是创造的天地。我们应在理论和实践中努力地探索，勇于进取，努力使创新教育不断走向深入，走向成功。

常州市新北区罗溪中学  王观涛  潘建明老师的讲座给了我教学上的诸多启示：在教学中，除了重视学生数学知识与技能的学习，更应该重视数学意识、数学思想方法、数学活动经验的升华等数学素养的培养，舍得给学生的“悟”留足够时间与空间，为学生的后续学习和可持续发展奠定基础。教学中，教师应有意识地关注学生学习过程中的感悟，引导学生去总结经验、规律和方法，促使学生真正的能够做到举一反三。比如例题解决之后，教师可以适时提问学生，你有哪些解题感悟？你积累了哪些解题经验？你提炼了哪些解题方法等？引导学生进行解题反思，有目的、有计划地指导学生整理解题思路、提炼解题方法、丰富解题经验、内化解题策略。以达到“讲一题、得一法、会一类、通一片”的效果，切实提高学生的解题能力。

常州市新北区孟河中学  莫桑  今天潘建明老师对初中数学变式教学策略分析让我获益良多。让我印象最深的是其中一个中点四边形的例子，在这个例子中的变式很常规，把最外面的平行四边形变成了菱形、矩形、正方形等等，但是最后的问题却是点睛之笔：改变中点四边形的形状的本质因素是什么？这个问题其实就指出了这个变式里面的重点。这也是潘建明老师在讲座中强调的变式应该要突出重点。此外，数学变式教学的目的是通过一个问题的变式来达到解决一类问题，就是我们常说的，不仅要让学生看到树木，还要让他们看到整片森林。所以，平时的教学中我们要巧用变式，善用变式，仔细推敲此处的变式是否紧扣主题，是否难度过大，是否脱离学生的认知等等。如果能用好变式，则能大大提高我们课堂的教学效果。

常州市新北区实验中学  陈洁  今天有幸聆听了潘建明老师的关于《初中数学变式教学策略分析》讲座，感觉收获颇丰。潘老师通过各种实例来阐述了变式教学的的重要性。

变式教学，其实通俗的来说就是举一反三。通过设计有层次的问题，不仅让学生发现解题的本质，又可使不同的学生找到自己的解题切入点，从而有利于不同层次的学生总结出解题的规律，深化知识的本质，形成对此类问题完整的数学认知结构。

同一类问题，当背景发生变化时，其解题的方法不变，一是有利于学生从中发现解题的一般规律； 二是有利于提高学生的概括能力，学生要从不同的背景题目中，总结、概括出一般的规律，需要一定的思维操作.；三是有利于学生扩大类比迁移的范围。

还有几何问题中，图形变异也是非常重要的，虽然图形是不同的，但从图形中分离出来的基本图形是相同的。因此，基本图形的性质，以及如何从复杂图形中分离出基本图形是要求学生必须进行重点表征的。初中几何知识中，有很多基本图形，如相似形中的A字型、8字型、一线三等角、子母三角形等，这些基本图形的识别与性质的灵活运用是学生解决复杂问题的思维载体。通过图形的变异，但组成图形的基本图形不变，有利于提高学生从复杂图形中分离出基本图形的能力。有利于提高学生运用基本图形解决问题的能力。

在今后的教学实践过程中，我也要逐步深入研究，找到知识的本质内涵，展开有效的变式教学，让学生能举一反三，更加透彻的理解。

常州市新北区实验中学  季红  通过潘建明老师展示的全国多地的中考卷，不难发现变式教学的重要性。过去，我可能只是把变式教学作为课堂教学的一种手段，那么听了潘老师的讲座，我想以后我更应该把变式教学上升为一种教学理念。

潘老师用丰富的课堂实例来说明了变式教学的作用，其中折叠的问题让我印象深刻，借助几何画板，让学生在静止中看到变化，在变化中找到规律。每一个变化都是一次变式，而不变的是其中直角三角形的相似。接着在一次折叠的基础上，变式为二次折叠。两种不同角度的变式锻炼了学生的思维深度，将一个问题的多个角度展现在学生面前，提升了学生的思维全面性和广阔性。

最后潘老师提出的变式分类更是让我耳目一新。其中概念变式中如何强化函数的概念，通过一对一、多对一、一对多的表格、图像等例子，层层递近，深化了学生对函数概念本质的理解，而不是浮于形式表面。

讲座虽已结束，但学习之路才刚开始，我要努力探索更多提高教学效率的方法。

常州市新北区西夏墅中学  邓兵  有幸通过网络学习了潘老师的讲座，受益颇多：针对中学数学中常用的变式教学，潘老师给出了系统且有效的方法，有一些对于我们老师来讲甚至是可以模仿的，运用层层递进，设置阶梯式的题目以求达到较好的教学目的，事实发现，也的确是行之有效的办法。对于落实教学成果、发现学生薄弱环节、指导后续的教学都起到很大的作用。旨在启发学生发现解决问题的方法，掌握一种方法，达到解决一类问题的目标。我们也发现，潘老师的变式设置非常巧妙，用心良苦，真正的想学生之所想，急学生之所急。这样就能直达要害，切中肯綮。

针对数学学习中的主干代数，几何方向，分别进行式子结构变形，几何图形的变换，让学生能够找到解题的关键点，会分析基本结构，基本图形，无一不渗透出数学的诸多思想方法。无形中提升了学生的数学素养。

常州市新北区薛家中学  陆小莉  经过潘建明老师的培训，我对于变式的运用，有了更深刻的理解，潘老师分析了初中数学现状，发现“题海”战术“淹没”了生动活泼的数学思维过程,这种"重复低效”的数学课堂教学,使相当一部分学生“丧失”了数学学习的兴趣，提出了变式教学的误区：
(1)变式脱离学生的认知基础;
(2)变式没有循序渐进、跳跃性大;
(3)变式没有突出重点,重心跑偏;
(4)变式主线不明,量过多、且庞杂;
(5)变式的难度过大，大部分学生跟不上。

为了保证所谓的平均分，我总是出一类题，变换一下数据，又让学生来做。这样的操作，学生越做越机械，更不可能对数学感兴趣，甚至会产生就考这么几道题的误解。课堂上也总出一些难题，没有前后铺垫，突然出现，学生不会做，自己开始生气起学生的无知来。其实这都是没有运用好变式的原因。
   潘老师深入浅出，用一个又一个有力的事例，对于变式的应用给出了详细，操作性强，非常接地气的建议。这让我开始琢磨在平常的教学中，如何使用变式。最印象深刻的便是相似图形的认识的导入部分，一开始就引发了文学语言与数学语言的强烈冲突，一方面吸引学生注意力，另一方面又能自然而然地引出相似的概念。
    这样的示例，给我的备课有力的指导。站在学生的角度思考问题，让自己的变式循序渐进，又有吸引力，螺旋上升，使学生学起来更轻松和愉快，让自己教起来也更自信和舒心。

常州市新北区薛家中学  张宇蕾  从数学试题中看，绝大多数的题目源于教材，活于教材，部分综合性的题目又略高于教材，变式教学在数学教学中的地位也变得举足轻重。但在实际的教学运用中，变式教学还存在着许多的问题。潘建明老师的讲座让我获益良多，潘老师从各方面讲解了变式教学在现今数学教学中的重要地位，以及一些实施中会遇到的困难，并且具体讲了一些变式教学的实施策略。

将一道题目进行变式，能在一定程度上激发学生的好奇心，并且培养思维的主动积极性，打破“一条道走到底”的思维定势，将相关的知识有条理，有逻辑地进行串联，达到灵活运用的目的。“一生万物”而“万物归一”，变式由浅层向深层出发，又不脱离最基本的知识，学生不需要通过大量的习题来掌握分散的知识，并且能使各阶层的学生都有所获益。在今后的教学中，我也会深入探索各个知识，题型间的联系，让学生能够更好地掌握知识加以运用。

通过本次“名师在线”线上学习研讨，成长营每位成员与专家“零距离”接触，感受教育家风范和个人魅力，学习名师成长的钻研精神 ，一定会对我们后续的教学工作产生极大的影响和促进。名师引领，更能启迪智慧，为我们的专业发展指明方向。