变与不变的抵达与远航

---以苏教版五上“用字母表示数”单元“练习十八”为例

作者1：常州市新北区新华实验小学  姚建法  电话13775000559  邮编213127

作者2：常州市新北区新华实验小学  刘海莲  电话13685263625  邮编213127

[摘  要]苏教版小学数学五年级上册第八单元“用字母表示数”是研究数或数量之间“变”与“不变”的规律性问题，是学生系统探索代数关系乃至函数关系的种子课。通过现行教材编排“学什么”的结构与阻亢分析，对比两个版本教材“变与不变”下“教什么”的研读，围绕用字母表示数的内涵本质，提出如何让用字母表示数在“怎么学”中抵达与远航的教学演进建议。

[关键词]字母表示数；抵达；远航；学什么；教什么；怎么学

    《用字母表示数》是现行苏教版教材五年级上册第八单元教学内容，学习用字母表示数是学习数学符号、学会应用数学符号表示数量、数量关系和变化规律的关键，用字母表示数具有较强的抽象性和概括性，是建立数感和符号意识的重要路径，是学习和认知数学的一次质的飞跃。

    一、现行教材的思考：“学什么”的编排与阻亢

    1、“用字母表示数”单元的内涵实质与教材位置

    史宁中教授指出：数学的本质是在认识数的同时，认识数量之间的关系（多与少），进一步抽象，是“数及数之间的关系（大与小）”。

    用含有字母的式子即能表示数，也能表示数量关系，它即能进行数量运算，也能表示函数关系。它可以是静态的结果，也可以是运动的、变化的过程，并且具有一一对应性（函数）。它是对原有的“数的表示、数学运算、数量关系”的丰富和扩张，是学生在小阶段仅有的系统认识代数的开始，在中小衔接过程中有着举足轻重的地位，具有特别的意义。

    用字母表示数，不变的是数与数量关系、数学运算,变化的是“用数字表示数”转向“用符号（字母）表示数”、“算术思维”航向“代数思维”、“程序思维”抵向“关系思维”。

    可见，主要的教学内容仍然是“数的表示”、“数量关系”、“数学运算”。

    2、“用字母表示数”单元的教学阻亢与思想渗透

    在小学里，学生的思维主要是算术思维，体现为习惯于从左往右、由因溯果或由果导因的程序性。学生的原有感知是零碎的、具体的，用字母表示数与数量关系又是抽象的、系统的，学生需要调整和适应的过程，这个思维的“扭转”是一个“慢”的过程，需要给他们提供丰富的、亲切的现实情境。

    学生的主要困难在于：

    （1）习惯用“数”对客观的数量进行抽象，而“用字母表示数”则是对“数”的再次抽象。

    （2）原先的“数”表示的现象是固定的、具体的、不变的，呈现静态，而“用字母表示数”则是表示变化的、有相应的范围，呈现动态性。

    （3）用“含有字母的式子”既能表示数量关系，还能表示数，并且能进行运算。它即能表示过程，也能作为结果。

    （4）为什么要“用字母表示数”是学习的情感起点和教学基础，需要学生有充分的体验。

    用字母表示数的单元教学蕴含着丰富的数学思想，这些更是需要学生所学习与积累。  

    （1）模型思想。让学生在变与不变中发现数量关系的永恒，较好地表达了某种数学规律现象，变复杂的话语表述为简洁的符号表达，能用更加概括、系统的思维动态地观察数学现象与周遭世界。

    （2）数形结合思想。用字母表示数展露出较为抽象的、概括的一般性，与学生形象直观的思维特点形成矛盾，这就为通过具体、物化的直观可视图像与较为抽象内隐的规律性外化成为可能，体现了几何直观。

    （3）一一对应的函数变量思想。用字母即能表示确定的数，也能表示不确定的数，但当这个字母表示的数一经确定，那么用这个字母表示的式子的结果也确定，存在着一一对应。含有字母的式子即能表示数，也表示两个量之间的数量关系，体现着变化与对应。

    二、新旧例题的研读：“教什么”的变与不变

    1、例1的教材变化（左图是旧版教材，右边是现行教材。下同）。

    例1在三角形小棒图后增加了省略号，表明了“照这样摆下去”的规律意图，尤其是三个卡通的对话，体现了用字母表示数时，学生原始状态下的三个递进层次：“几个几”→“几倍关系”→“关系式表征”，体现了从具体向抽象的过渡，同时突出并强化了数量关系。

    例2从三个数量关系的多变性，改版为同一个数量关系的守恒性，强化了对数量关系的把握。玉米老师的问题也把取值范围进行的有效的聚焦与扩充：从例1的自然数个延展至例2的小于或等于280的数，包含了小数等，实现了数系的变化。两个“如果”的 代入计算，体现了用字母表示数的“一一对应”：当字母有大小一旦被确定，用字母表示的式子的大小也就唯一确定。

    例4的表格让学生体会到数据表征形式的变化与丰富，两个小卡通再次强化了数量关系，两个如果进一步彰显了用字母表示数的一一对应思想。

    例5的变化在于格式的表达形式更加的“中学化”，体现了数学格式的规范化与严谨。新版教材中没有变化的是例3、例6和例7，引导学生从字母表示数的角度再次认知计算公式，并且使代入计算更加的规范。其间渗透的数量关系亦是不变的内容。

    通过上述的对比研讨不难发现，变化的是问题外显的形式，以及逻辑线索，始终不变的却是指向本质的数与数量关系。

    三、课堂教学的推进：“怎么学”的抵达与远航

    1、第1课时“用含有字母的式子表示简单的数量关系”----重新立序，实现四次转变。

    本课时的难点主要有三个：一是要认识到字母不仅可以表示确定的数量，而且更多的是用来表示变化的数量；二是要认识到含有字母的式子不仅可以表示某个具体的数量，而且可以表示相关数量之间的关系；三是要认识到在不同的情境中，字母表示的数的范围是不一样的。主要体现为七个“序”，而这七个序，分别用4个环节和6个活动加以推进与达成。

    （1）“具体数”向“字母数”的立序与转变：需求与外延。

    序一：认识一个数的状态：不确定的，有范围的；

    序二：接受一种数学规定：不确定的，有范围的数可以用字母来表示。

    序三：明确一种字母选择：在同一事件中，通常用不同的字母来表示不同的数。

    活动1：数A袋中三角形的个数，具体的、确定的数，是自然数。

    活动2：猜A袋中三角形的个数，不确定、但有范围，用符号或字母表示数，符号或字母表示的数一旦给大家看了即确定了，这个数就确定了。

    活动3：猜B袋中三角形的个数，不确定、但有范围，表明不同的字母表示不同的数。

    （2）“单独数”向“关系数”的立序与转变：关系与对应

    序四：在同一事件中，表示不同数的两个字母间存在着＞、＜、=三种比较关系。

    序五：在同一事件中，明确两个数之间存在相差或倍比的关系时，在用一个字母表示一个数的前提下，另一个数可以用字母式表示。

    序六：体会用字母式与字母的区别，字母式既表示数的大小，又可表示与另一个数之间的关系，因此，同一个事件中两个数若有联系，尽量用字母式表示比较方便。

    活动4：比较两个袋中的三角形个数，明确字母表示的数也存在大小关系。

    活动5：例1教学，比较a个三角形用几根小棒：b？a×3？通过讨论抵达序五和序六。

    值得注意的是，教学中要防止与预见典型错误：你能用一个算式就表示所有的情况吗？从字母表示数的内涵本质出现，不妨这经引导学生展开思考：“你能用一个式子即表示小棒根数，又表示小棒根数与三角形个数的关系吗？”从而直指数量关系。

    （3）“式子数”向“对应数”的立序与转变：模糊与确定

    序七：当字母确定，字母表示的式子的值也确定，具有单一性与对应性

    活动6：主要是例2的教学。一是强化数量关系，巩固对字母与含用字母式子的理解与内化。二是b的取值范围，引导学生比较思考：不同情境下字母有不同的取值范围。三是问题b=120，280-b=？b=200呢？聚焦关注对应与确定。

     至此，我们实现了两类“数学化”：第一类是例1的“横向数学化”，注重把生活世界引向数学的符号世界，是从现实情境引向数学体系，建立联系。第二类是例2的“纵向数学化”，注重在数学符号的世界里，从数学体系内部实现抽象符号的生成、变换、重塑与应用。

    （4）“公式”向“字母表达”的立序与转变：视角与结构

    主要表现为活动7：例3教学。一是公式表达、简写的规定与表达。二是建议练一练增加a+3、8×4两题，防止与提醒学生对于乘法的关注与区分。三是让学生回忆生活与学习进行举例，丰富对字母表示数的认知与内涵体验。

    2、第2课时“用含有字母的式子表示稍复杂的数量关系”----持续架构，丰富认知内涵

    （1）数形结合，强化“用字母表示数”的本质刻画

    例4是对“用字母表示数量关系”的丰富递进，与再感知、再应用。在教学过程中关注表格中的第一行是增加三角形个数，不要急于调整为“第几幅图与小棒的关系”，便于集中精力开展对“数量关系”的分析与应用。

    （2）规范格式，融合式与运算之间的对应变换

    例5、例6是一方面丰富着数量关系的分析与理解，另一方面有效地规约了“把字母的值代入计算”的规范与严谨，体现用字母表示数的变换与对应。

    特别要注意的是：由于字母表示的是数，含有字母的式子表示的也是数，而不是数量，所以结果不用写单位。

    （3）丰富体验，厚实数与数量关系的理解与把握

    在练一练中，教师要重点引导学生先对数学现象或问题进行数量关系的分析与使用，通过不断追问“问题解决的依据是什么？”“字母的取值范围是怎样的”，使得学生的数学思维始终指向数量关系与字母表示数的关联本质。