2021年11月26日，盛小青名教师成长营第29次活动如约而至。因疫情防控需要，本次活动采取线上研讨的方式，研究的课题为《隐形圆问题》，由河海实验学校的钱程老师和西夏墅高中的邓兵老师同课异构。

钱程老师的视频教学简洁灵动，语言富有诗意，把有限的空间把知识点细化，讲解过程中很注重强调重要的思考维度和解题技巧。整节课的设计很符合学生的接受和理解程度。

邓兵老师的视频教学高瞻远瞩，基于一个点，把庞杂丰富的教学内容窜成一线，以学生视角去解读“隐形圆”所呈现的各种问题。方法的点拨，多元化的思考，邓兵老师都能娓娓道来，让人印象深刻。

成长营的老师们线上观摩后进行了研讨，对两节精彩的课发表了不同的评价：

钱程老师这节课隐圆问题是中考中的热门问题，也是学生学习中的难点。学生在遇到这类问题时常常无法筛选出题目中的关键信息，构造阴影圆。我觉得这还是归结于平时上课中模型思想的渗透还不够透彻。钱程老师在这节课中由简入深，总结了构造隐形圆的三种模型。在后面的习题讲解中运用几何画板技术，在复杂图形中动态展示动点轨迹。及时归纳，对学生巩固隐形圆的三种基本模型很有帮助。
    邓兵老师的这节课内容总结了隐形圆的五大模型，特别是四点共圆的问题有时也是解决问题的关键，然而却很容易被忽略。邓兵老师选取的例题非常典型，也很新颖，利用隐形圆可以求线段，线段最值，轨迹。最后转化条件使用模型的思想也让我深受启发，在平时教学中要注意帮助学生归纳模型，识别模型，渗透数学思想方法。

——飞龙中学  霍达 

圆在数学中考中占据着重要的地位，在题目的呈现形式上，有些圆却是隐性存在的，如果不能将圆化“隐"为“显"那么求解上可能会十分困难。那么如何化“隐"为“显"呢？钱程、邓兵两位老师潜心钻研、精心设计，讲究教学策略，结合中考例题启发、引导学生思考，如何构造合适的“辅助圆”,使得解题举重若轻，豁然开朗! 

钱程老师专题复习课《题中无圆,心中有圆，"圆” 来很完美》从题目到引入：有“圆”千里来相会,无“圆”对面不相逢，一旦“圆”形毕露,则答案手到擒来，新颖、生动，一下吸引学生的眼球，激发学生的学习兴趣。程老师又从学生已有的知识经验圆的定义入手，设计了三个板块、三种基本模型，并且通过几何画板的动画演示让学生从直观想象到数学建模，最后巩固练习。整节课的设计让学生由乐学到易学最后到善学，提升学生学习活动的思维品质。

邓兵老师专题复习课《隐圆问题》在选择问题的角度上更加细致、全面，他在学生已有的知识储备基础上分成了五种模型，精心挑选了5个例题，从不同的角度分析、讲解，通过动画演示感受动点的运动轨迹，仔细分折之后发现如此与圆有缘。邓老师的讲解细致到位，化繁为简，学生易懂、易学，每个题还给出了规范的解题过程。

——常州市新北区实验中学 朱晓玲

邓兵老师和钱程老师针对初中数学重要的几何内容---隐形圆，展开了同课异构的教学。我们都知道很多中考压轴题都是以圆为背景的，而“隐形圆”更是命题的热潮。邓兵老师从高中老师的视角，通过五个隐圆模型展开研究，给我们带来了不同的感受:模型一:圆的定义，动点定长，动点迹为圆。模型二:静定线，动直角，顶点迹为圆。模型三:静定线对定角，是圆跑不了。模型四:对角互补四边形，四点共圆妙解题。模型五:静定线所对同侧角相等，四点共圆助。每个模型的出现，邓老师都引导学生去观察，配套例题，和相应的练习题去讲解，用简单的话语进行归纳。邓老师及时总结方法，概括步骤，帮助学生消化吸收，比如确立模型，确定思路，找出图形，求解面积。

钱程老师的《题中无圆，心中有圆，“圆”来很美》用很诗意，精辟的话语概括了本堂课的主旨--隐形圆的构造。首先带领学生回顾圆的相关定义，以及隐圆题型的知识储备。然后娓娓道来构造圆的几种常见模型:利用圆的定义来构造圆，利用90度的圆周角所对弦是直径构造圆，定弦定角构造辅助圆。两位老师在教学过程中都熟练的使用几何画板这个工具，向我们演示题中存在的隐圆，大大地提升了学生的学习兴趣，以及课堂的灵活性。

——常州市新北实验中学 陈洁

钱程、邓兵两位老师的同题异构《隐圆问题》是初中几何的重要内容，两位老师精心设计，运用巧妙策略让复杂的问题简单化，解题的方式多样化。两位教师对于几何画板的有效使用使解题思路更加清晰，帮助学生快速找到隐圆，让课堂更加生动活泼，激发学生学习兴趣的同时棘手的问题也迎刃而解。邓老师尊重学生主体，积极引导，帮助学生掌握“确立模型——开拓思路——寻找隐圆——求解面积”的答题流程，注重数学学科关键能力的培养。钱老师语言功底深厚，文学素养出众，他的关于“圆”的连珠妙语、有“圆”千里来相会、“圆”形毕露等一下子抓住了学生的注意力，他们乐于参与、勤于思考，钱老师循循善诱，完美阐述了“题中无圆，心中有圆，圆来很美”。

——龙城小学  贺妍颖

本次同题异构课为《隐圆问题》。 隐形圆问题作为初高中衔接中非常重要的内容。它广泛出现在各地的中考、高考模考和真题中，是命题者的宠儿，其实很多重要的高考隐圆问题都是基于初中的隐圆模型，正如钱程老师在课中所讲有“圆”千里来相会、“圆”形毕露，揭示了寻找隐形圆的重要性，因此，我认为和学生一起探究并深刻理解这些常见有用的数学模型显得尤为重要和紧迫，也是作为成长营学员对于如何提升学生数学学科素养、促进学生深度学习的一次尝试。
    钱程老师作为数学学科老师，文学功底扎实，能营造和谐浪漫的学习氛围，又能严谨务实的带领学生探索数学的奥秘，课堂中主要介绍了三种模型：1. 圆的定义2.直径所对圆周角是90度3.定弦定角。钱老师课堂内容充实，容量大，讲练结合。课堂教学融合信息技术，处理熟练且恰到好处，是我们值得学习请教的地方！
中高考都是检验学生综合素养的重要考试，我们一线教师更应把握课堂，打磨每一节课，选好每一个题，讲清每一个知识点，整理好每一个模型，为学生素养的提高贡献力量。

——西夏墅中学  邓兵

钱程、邓兵两位老师精心设计，为我们成长营的老师带来了与众不同、极具创新精神和研讨价值的同题异构课《隐圆问题》。先进的教学理念，不同的设计思路和丰富的教学手段让我真实地感受到两位老师扎实的基本功。“隐圆问题”是中考常考的一部分内容。这部分重点是要把题目中隐藏的圆给找出来。只要“隐圆”一出，所有的问题就迎刃而解。

钱程老师开篇引用了一系列关于“圆”的连珠妙语：有“圆”千里来相会、“圆”形毕露等，吸引了听者的注意力。然后分别介绍了三种模型：1.利用圆的定义构造圆2.利用90°圆周角所对弦为直径构造圆3.利用定弦定角构造辅助圆。通过例题讲解、针对训练，最终进行归纳“定点定长、定弦定角”特殊条件构造圆。讲解时既有清晰的板书，还展示了几何画板实现有效教学。整节课内容充实，练习量也充足，对于不擅长找隐圆的同学来说应该有很大的帮助。
    邓兵老师同样也精彩地讲解了五大模型：1.圆的定义——动点定长2.静定线，动直角3.静定线对定角4.静定线对同侧角相等5.对角互补。简洁明了的语言，从学生现有经验出发，设置了不同的问题，更能促进学生思维的提升。
    两位老师都善于将各类教学资源融合贯通、化繁为简，引导学生抓重点、明难点，这是值得我向他们学习的，尤其他们都能熟练应用几何画板这一技能让我更明白自身要提升的东西还有很多。九年级是初中数学的综合应用阶段，又面临中考压力，学生学习任务也艰巨，如何让学生有效甚至有深度的学习，需要我们教师采用多样化教学方法，精心备课，注重数学思想方法的渗透和解题规律的总结，让学生从不同角度掌握、运用知识，达到举一反三触类旁通的学习效果。

——河海实验学校  周叶

邓兵老师和钱程老师本次同课异构的题目是《隐形圆》，圆在初中数学阶段的几何课程中占据着重要的地位，常常隐藏在题目中，要通过分析和转化，发现圆，从而最终利用圆的知识来求解。这类问题具有很强的探索性，解题时往往需要综合运用动态思维、数形结合、特殊与一般等数学思想方法。

邓兵老师整理了五种模型，辅助信息化教学进行展示：模型一：圆的定义，动点定长，动点迹为圆；模型二：静定线，动直角，顶点迹为圆。模型三:静定线对定角，是圆跑不了。模型四:对角互补四边形，四点共圆妙解题。模型五:静定线所对同侧角相等，四点共圆助。每种模型配套了一道例题，带领学生一起建立模型，确定思路。钱程老师的《题中无圆，心中有圆，“圆”来很完美》从三种模型入手，模型一：定点定长；模型二：定长（弦）对定角→直角对直径；模型三：定弦定角构造辅助圆。每个模型辅助几何画板进行构造讲解，注重数学学科关键能力的培养。

                                                                                                                     ——飞龙中学 周叶舟