8.3多项式乘多项式

本节课《多项式乘多项式》是苏科版初中数学七年级下册第八章第三节的内容，具有承上启下的重要作用.从知识体系上看，它是在学生学习了单项式乘单项式、单项式乘多项式等知识的基础上进行的拓展，为后续学习整式的乘法、因式分解以及更复杂的代数运算奠定了坚实基础．

本课教材通过创设实际问题情境，如求长方形面积，引导学生从具体问题中抽象出数学模型，进而引入多项式乘多项式的概念.这种从实际到抽象的过渡，有助于学生更好地理解多项式乘法的现实意义，激发他们的学习兴趣.在探索多项式乘法的过程中，学生需要将复杂的多项式乘法运算转化为简单的单项式相乘后再相加的问题，这有助于培养学生的数学思维能力和解决问题的能力.

本节课不仅传授了重要的数学知识，更注重了学生数学素养的全面提升.通过实际问题的引入和探索，学生不仅能够掌握多项式乘法的法则，还能学会如何将数学知识应用于解决实际问题，从而提升他们的数学应用能力和创新思维.此外，教材还通过例题和习题的设计，帮助学生巩固所学知识，并通过变式训练，培养学生的灵活运用能力和逻辑推理能力.

学生在学习多项式乘多项式时，已具备一定的知识基础和学习能力．因为学生已经学习了整式的加减、单项式乘单项式、单项式乘多项式，掌握了用字母表示数的技能，能够熟练地进行整式的加减运算，并理解了单项式乘单项式的运算规则.此外，学生在前面的学习中已经接触了分配律的应用，能够将分配律运用于简单的代数运算中.这些知识为学习多项式乘多项式提供了知识支撑.同时，学生在学习过程中积累了一定的代数思维能力和逻辑推理能力，能够通过类比和迁移的方法探索新的运算规则.因此，学生具备了从单项式乘单项式过渡到多项式乘多项式的认知基础，能够较好地理解和掌握多项式乘法的运算方法及其几何意义.

1.理解并熟练运用多项式乘法的运算法则，能够准确进行多项式乘法的计算，并最终合并同类项.

2.通过几何图形（如矩形面积模型）理解多项式乘法的几何意义，能够将代数运算与几何直观相结合，解决相关问题.

3.能够将多项式乘法的知识应用于解决实际问题，培养数学建模能力.理解多项式的含义和基本概念.

重点：理解并熟练运用多项式乘法的运算法则，能够准确进行多项式乘法的计算，并最终合并同类项.

难点：通过几何图形（如矩形面积模型）理解多项式乘法的几何意义，能够将代数运算与几何直观相结合，解决相关问题.

n 情境导入

问题1：请你回顾上节课学习的单项式乘多项式的法则.

答：单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

问题2：在x(c+d)=xc+xd中,如果将x换成(a+b),你能计算(a+b)(c+d)吗?

师生活动：独立思考，学生代表讲述，学生倾听.

设计意图：通过通过问题1，引导学生回顾上节课学习的单项式乘多项式的法则，这一环节帮助学生巩固已有知识，为后续学习多项式乘多项式奠定基础.将问题1中的单项式 x 替换为多项式(a+b)，引导学生思考如何计算(a+b)(c+d).这一设计启发学生从已有的知识出发，通过类比和迁移，探索多项式乘多项式的运算法则，激发学生的学习兴趣和探究欲望.

n 探究新知

活动一：探究多项式乘多项式的法则

如图，现有一块长为a、宽为d的长方形绿地，将其长和宽分别加长b，c，请计算扩大后的长方形绿地的面积.

思考：你有哪些不同方法求扩大后的长方形绿地的面积呢？

方法一：把它看成是一个长为(a＋b)，

宽为(c＋d) 的长方形，则S=(a+b)·(c+d).

方法二：把它看作4个小矩形，则S=ac+ad+bc+bd.

通过整体法和局部法可得S=(a+b)·(c+d)=ac+ad+bc+bd

师生活动：独立思考，学生代表讲述，教师板书，学生倾听.

设计意图：通过情境创设，让学生感悟数学来源于生活并应用于生活的辨证思想，锻炼学生的独立思考能力，为推导多项式乘多项式法则埋下伏笔.

问题1：你能借助单项式乘多项式的法则来推导这个式子吗？

答：一般的，对于任意的a、b、c、d，把(c+d)看成一个整体

S=(a+b)·(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd

(a+b)·(c+d)=ac+ad+bc+bd

思考：你能仿照上述过程把(a+b)看成一个整体,写出推导过程吗？

答：一般的，对于任意的a、b、c、d，把(a+b)看成一个整体

(a+b)·(c+d)==c(a+b)+d(a+b)=ac+bc+ad+bd=ac+ad+bc+bd.

师生活动：独立思考，学生代表讲述，教师板书，学生倾听.

设计意图：通过引导学生借助单项式乘多项式的法则，将(c+d)看作一个整体，推导出 (a+b)·(c+d)=ac+ad+bc+bd,帮助学生从熟悉的单项式乘多项式的知识出发，通过类比和迁移，探索多项式乘多项式的运算法则，降低学习新知识的难度.通过两种不同的推导过程帮助学生深入理解多项式乘法的本质，即分配律的多次应用，并强化对运算规则的理解和记忆.

活动二：多项式乘多项式的法则

本质：将多项式乘多项式转化为单项式乘多项式，再转化为单项式乘单项式.

多项式与多项式的乘法法则:多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.

注意：(1)相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；

(2)多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积；

(3)相乘后，若有同类项应该合并．

师生活动：学生先独立完成，再同伴之间互相说一说.

设计意图：借助单项式乘单项式的法则，以及单项式乘多项式的法则，获得多项式乘多项式的法则，在此过程中培养学生的表达能力和总结能力，让学生学会用数学思维思考，用数学的语言表达．

n 应用新知

例1  计算：

(1) (x+2)(x－3)；        (2) (－3x+1)(x－2) .

解：(1) 原式= x(x－3)+2(x－3)

            = x·x+x·(－3)+2·x+2·(－3)

            = x²－3x+2x－6

            = x²－x－6;

(2) 原式=－3x·x+(－3x)·(－2)+1·x+1·(－2)

            =－3x²+6x+x－2

            =－3x²+7x－2.

师生活动：(1)教师板演示范，学生模仿独立完成(2)．

设计意图：通过例题讲解，及时练习巩固所学，培养学以致用、积极思考的习惯，提升学生计算能力．让学生理解运用多项式乘多项式的法则来计算.

例2  计算：

(1) (3m+n)(m－2n) ；                 (2) n(n+l)(n+2).

解：(1) 原式=3m²－6mn+mn－2n²=3m²－5mn－2n² ;

(2) 原式=n(n²+2n+n+2)=n(n²+3n+2)=n³+3n²+2n.        

变式：下列计算结果为2x²－x－3的是(  B   )

A.(2x－1)(x－3)   B.(2x－3)(x+1)

C.(2x+3)(x－1)   D.(2x－1)(x+3)

师小结：

多项式乘以多项式时，应注意以下几点：

(1)相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；

(2)多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积；

(3)相乘后，若有同类项应该合并．

师生活动：教师板演示范，学生模仿．

设计意图：这个环节可以巩固本课知识点，运用多项式乘多项式的法则进行计算，提升学生的计算能力．

n 课堂练习

1. 计算：

(1) (a+1)(b+1);                               (2) (x－2)(x－3);

(3) (4x+2)(x－2);                             (4) (1－2x)(2+3x).

2. 计算:

(1) (4－3x)(4+3x);            (2) n(n－2)(n+2).

3.一块长方形地砖的长、宽分别为a cm,b cm (a>2,b>2).如果长、宽各截去2 cm,那么剩余部分的面积是多少?

答：

1.解：

(1) 原式=ab+a+b+1;

(2) 原式=x²－3x－2x+6=x²－5x+6;

(3) 原式=4x²－8x+2x－4=4x²－6x－4;

(4) 原式=2+3x－4x－6x²=－6x²－x+2.

2.解：(1)原式=4×4+12x－12x－9x²=－9x²+16；

        (2)原式=n(n²+2n－2n－4)=n(n²－4)=n³－4n.

3.解：剩余长方形的长为(a－2) cm,宽为(b－2) cm.

∴(a－2)(b－2)=ab－2a－2b+4

答：剩余部分的面积为(ab－2a－2b+4) cm.

n 限时训练

1. 求(x－1)(2x+1)－2(x－5)(x+2)的值,其中x=15.

2. 若多项式(x－a)(x+2)中不含x的一次项，求a的值.

3.某校操场原来的长是2x m，宽比长少10 m，现在把操场的长与宽都增加了5 m，则整个操场面积增加了__________ m².

4. 若M=(x－4)(x－2)，N=(x+3)(x－9)，试比较M、N的大小.

答：1.解：原式=2x²+x－2x－1－2(x²+2x－5x－10)

        =2x²－x－1－2(x²－3x－10)

        =2x²－x－1－2x²+6x+20

        =5x+19.

   当x=15时，原式=5×15+19=94.

2.解：(x－a)(x+2)=x²+2x－ax－2a =x²+(2－a)x－2a

        因为不含x的一次项

        所以2－a=0，即a=2.

3. (20x－25)m².

4.解：∵M = (x－4)(x－2) = x²－2x－4x+8 = x²－6x+8；

        N = (x+3)(x－9) = x²－9x+3x－27 = x²－6x－27；

      ∴M－N = (x²－6x+8)－(x²－6x－27)，

= x²－6x+8－x²+6x+27 = 35＞0，

      ∴M＞N

师生活动：学生独立完成，教师批阅.

设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.

n 归纳总结

设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

n 实践作业

寻找生活中多项式乘多项式的例子，如密码学中在 RSA 加密算法中，对大整数的乘法可以通过多项式乘法的算法来实现，提高加密和解密的效率.电子电路领域，在数字信号处理中，滤波器的传递函数通常可以用多项式来表示.感受运用多项式乘多项式在解决问题的过程中的简洁美.

本课通过引入一个实际问题——“长方形草地的面积”来吸引学生的注意力. 这种情境创设有助于学生理解数学知识在现实生活中的应用，激发他们的学习兴趣，引导学生自主思考，让学生用多种方式表示长方形面积得到等量关系，自主发现规律，增强学生探究和解决问题的能力.

通过几个简单的的例子来引入新知识.通过单项式乘多项式、单项式乘单项式的法则引导推导出积多项式乘多项式的法则，帮助学生掌握多项式乘多项式的法则.鼓励学生参与讨论，自主推导出多项式乘多项式的法则，加深学生对知识的理解.

本课时选择了一些典型的多项式乘多项式的例子，通过逐步分析和解答，帮助学生理解并掌握解题方法.学生在解题时容易漏乘，因此应该更多地让学生自己尝试解题，而不是仅仅依赖于老师的讲解，从而提高学生的独立解题能力.

通过思维导图和快速回顾的方式，帮助学生巩固本节课的知识点.注重学生的反馈，通过让学生自己总结学到的内容，更好地检测他们对知识的掌握情况，追寻数学本质，力争全体学生正确理解多项式乘多项式法则的形成过程，并规范使用.